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6种方法,1篇讲透轨迹方程

67高中学习2019-01-30 16:53:51

高考数学MOOK

2017 VOL.41


韩永权


求符合某种条件的动点轨迹方程,是解析几何的基本问题,其实质就是利用题设中的几何条件,通过“坐标化”将其转化为寻求动点的横坐标与纵坐标之间的关系.在求与圆锥曲线有关的轨迹方程时,要特别重视圆锥曲线的定义在求轨迹方程中的应用,只要动点满足已知曲线的定义,就可直接得出方程.一般高考的解析几何题第一问是求轨迹方程,第二问是研究直线和曲线的位置关系,所以很有必要牢固掌握轨迹方程的求法.求轨迹方程常用的方法有直接法、定义法、代入法、交轨法、待定系数法、参数法.而定义法,直接法,代入法是重点方法.


求轨迹方程与求轨迹是有区别的,若求轨迹,则不仅要求出方程,而且还需要说明所求轨迹是什么曲线,即曲线的形状、位置、大小都需说明.


直接法


我们学过的圆,椭圆,双曲线的标准方程都是用直接法推导出来的,直接法求轨迹方程的步骤如下:

注:步骤(5)可以省略不写,如有特殊情况,可以作适当说明,另外,也可以根据情况省略步骤(2).

简单记为:①建系;②设点;③列式;④代换;⑤检验.


定义法


【点评】定义法求轨迹方程是很常用的方程,我们要熟悉各种圆锥曲线的定义,只要动点满足圆锥曲线的定义,就可以写出它的轨迹方程.


待定系数法


如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线)的定义,则可先设出轨迹方程,再根据已知条件,待定方程中的常数,即可得到轨迹方程.

【点评】已知所求的曲线类型,先根据条件设出曲线方程,再由条件确定其待定系数.


交轨法


【点评】本题利用交轨法求轨迹方程,解题时要认真审题,仔细分析,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地选取公式.


代入法


【点评】代入法的关键在于找到动点和其相关点坐标间的等量关系,有一个主动点,一个被动点,主动点的轨迹方程已知了,求被动点的轨迹方程用此方法.


参数法


总结

以上列举了六种求曲线轨迹方程的方法,在解题过程中,要仔细读题,认真审题,挖掘题目中的隐含条件,再对应各种方法求轨迹方程.相信同学们一定能够学好这部分知识.       

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